【題目】已知函數(shù).
(1)若時(shí),直線是曲線的一條切線,求b的值;
(2)若,且在上恒成立,求a的取值范圍;
(3)令,且在區(qū)間上有零點(diǎn),求的最小值.
【答案】(1)(2)且 (3)
【解析】
(1) 設(shè)切點(diǎn),求出在點(diǎn)A處的切線,因?yàn)?/span>是的一條切線,對應(yīng)值相等即可得解;(2)令,求導(dǎo)數(shù),分和討論導(dǎo)數(shù)的符號從而判斷函數(shù)的單調(diào)性,證明不等式對恒成立;(3) 求出的表達(dá)式,并設(shè)在上的一個(gè)零點(diǎn)為,由解得,則,令利用的導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得解.
解:(1)當(dāng)時(shí),,
設(shè)切點(diǎn),則在點(diǎn)A處的切線為,
化簡得,
因?yàn)?/span>是的一條切線,
,,解得;
(2)當(dāng)時(shí),令,
則.
若,則當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增,
,即符合題意;
若時(shí),由,得,
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,
,與已知在上恒成立矛盾,舍去.
綜上,且 .
(3)法一:.
若,則在區(qū)間上恒成立,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
因?yàn)?/span>在區(qū)間上有零點(diǎn),
所以,
解得.
所以,
當(dāng)時(shí),等號成立,此時(shí).
若時(shí),當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?/span>在區(qū)間上有零點(diǎn)
所以,
所以,
所以,
令,
則,所以在(2)上單調(diào)遞減.
所以.
若,則在區(qū)間上恒成立,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
因?yàn)榻?/span>在區(qū)間上有零點(diǎn),
所以,
解得.
所以,
當(dāng)時(shí),等號成立,此時(shí);
綜上,的最小值是.
法二:,
設(shè)在上的一個(gè)零點(diǎn)為,
則,
,當(dāng)時(shí)等號成立,
令,則,
因?yàn)?/span>,則,
即,所以的區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以的最小值為,
故的最小值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某加油站擬建造如圖所示的鐵皮儲油罐(不計(jì)厚度,長度單位為米),其中儲油罐的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,(為圓柱的高,為球的半徑,).假設(shè)該儲油罐的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元.設(shè)該儲油罐的建造費(fèi)用為千元.
(1) 寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域;
(2) 若預(yù)算為萬元,求所能建造的儲油罐中的最大值(精確到),并求此時(shí)儲油罐的體積(單位: 立方米,精確到立方米).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家電公司銷售部門共有200位銷售員,每位部門對每位銷售員都有1400萬元的年度銷售任務(wù),已知這200位銷售員去年完成銷售額都在區(qū)間(單位:百萬元)內(nèi),現(xiàn)將其分成5組,第1組,第2組,第3組,第4組,第5組對應(yīng)的區(qū)間分別為, , , , ,繪制出頻率分布直方圖.
(1)求的值,并計(jì)算完成年度任務(wù)的人數(shù);
(2)用分層抽樣從這200位銷售員中抽取容量為25的樣本,求這5組分別應(yīng)抽取的人數(shù);
(3)現(xiàn)從(2)中完成年度任務(wù)的銷售員中隨機(jī)選取2位,獎(jiǎng)勵(lì)海南三亞三日游,求獲得此獎(jiǎng)勵(lì)的2位銷售員在同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+),則下面結(jié)論正確的是( )
A. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2
B. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2
C. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度,得到曲線C2
D. 把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度,得到曲線C2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓,定義橢圓C的“相關(guān)圓”E為:.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓C的右焦點(diǎn)重合,且橢圓C的短軸長與焦距相等.
(1)求橢圓C及其“相關(guān)圓”E的方程;
(2)過“相關(guān)圓”E上任意一點(diǎn)P作其切線l,若l 與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求證:為定值(為坐標(biāo)原點(diǎn));
(3)在(2)的條件下,求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷售量萬件(生產(chǎn)量與銷售量相等)與促銷費(fèi)用萬元滿足(其中,為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元(不含促銷費(fèi)用),產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元件.
(1)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費(fèi)用萬元的函數(shù);
(2)促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),該公司的利潤最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)的極值大于?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,是兩條不同直線,,是兩個(gè)不同平面,給出下列四個(gè)命題:
①若,垂直于同一平面,則與平行;
②若,平行于同一平面,則與平行;
③若,不平行,則在內(nèi)不存在與平行的直線;
④若,不平行,則與不可能垂直于同一平面
其中真命題的個(gè)數(shù)為( 。
A.4B.3C.2D.1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)A是以BC為直徑的圓O上異于B,C的動(dòng)點(diǎn),P為平面ABC外一點(diǎn),且平面PBC⊥平面ABC,BC=3,PB=2,PC,則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為______.
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