【題目】已知.
(I)若,判斷函數(shù)在的單調(diào)性;
(II)設(shè),對(duì),有恒成立,求的最小值;
(III)證明:.
【答案】(I)在單調(diào)遞增;(II)2;(III)證明見解析.
【解析】
(1),函數(shù),
..根據(jù),可得,而.即可得出單調(diào)性.
(2)由題意知,,對(duì),,有恒成立.,設(shè),由,可得時(shí),單調(diào)遞增,又,,因此在內(nèi)存在唯一零點(diǎn),使,即,利用其單調(diào)性可得:,故,設(shè),.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出所求的最小值.
(3)由可知時(shí),(1),即:.設(shè),可得,可得,求和利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出.
解:(1),函數(shù),.
.
又,,而.
,
故在上單調(diào)遞增.
(2)由題意知,,對(duì),,有恒成立.
,
設(shè),則,
由于,故,
時(shí),單調(diào)遞增,又,,
因此在內(nèi)存在唯一零點(diǎn),使,即,
且當(dāng),,,單調(diào)遞減;
,,,,單調(diào)遞增.
故,
故,
設(shè),.
,
又設(shè),,
故在上單調(diào)遞增,因此,即,在上單調(diào)遞增,
,,又,,
故所求的最小值為2.
(3)由(1)可知時(shí),,即:
設(shè),則
因此
即
,
得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù), (是自然對(duì)數(shù)的底數(shù), ).
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)已知表示不超過的最大整數(shù),如, ,若對(duì)任意,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的極小值;
(2)設(shè)函數(shù),討論函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意,不等式恒成立,求正整數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右兩焦點(diǎn)分別為、.
(1)若矩形的邊在軸上,點(diǎn)、均在上,求該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱側(cè)面積的取值范圍;
(2)設(shè)斜率為的直線與交于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為(),求證:;
(3)過上一動(dòng)點(diǎn)作直線,其中,過作直線的垂線交軸于點(diǎn),問是否存在實(shí)數(shù),使得恒成立,若存在,求出的值,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
①?gòu)膭蛩賯鬟f的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣的抽樣是分層抽樣.
②某地氣象局預(yù)報(bào):5月9日本地降水概率為,結(jié)果這天沒下雨,這表明天氣預(yù)報(bào)并不科學(xué).
③在回歸分析模型中,殘差平方和越小,說明模型的擬合效果越好.
④在回歸直線方程中,當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量增加0.1個(gè)單位.
A.①②B.③④C.①③D.②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足:集合中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,則稱函數(shù)是等比源函數(shù).
()判斷下列函數(shù):①;②;③中,哪些是等比源函數(shù)?(不需證明)
()判斷函數(shù)是否為等比源函數(shù),并證明你的結(jié)論.
()證明: , ,函數(shù)都是等比源函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果,其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》,有豐富多彩的內(nèi)容,是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn),這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期,某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容,則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),是實(shí)數(shù).
(1)若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),求的值,并求方程的解;
(2)若對(duì)任意的恒成立,求的取值范圍;
(3)若,方程有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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