Question

若二次函數(shù)滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在區(qū)間[-1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求解．由二次函數(shù)可設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c值，由f（x+1）-f（x）=2x可得a，b的值，從而問題解決；
（2）欲使在區(qū)間[-1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，只須x²-3x+1-m＞0，也就是要x²-3x+1-m的最小值大于0即可，最后求出x²-3x+1-m的最小值后大于0解之即得．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=1，
∴c=1，∴f（x）=ax²+bx+1
∵f（x+1）-f（x）=2x，∴2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

∴

a=1 b=-1

∴f（x）=x²-x+1（5分）
（2）由題意：x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立，
即x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立g(x)=x2-3x+1-m=(x-

3

2

)2-

5

4

-m
其對稱軸為x=

3

2

，∴g（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，
∴g（x）_min=g（1）=1-3+1-m＞0，
∴m＜-1（10分）．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．