Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3a|x-1|（a∈R）
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）在區(qū)間x∈[0，

3

]上的最值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x³-6|x-1|=

x3-6x+6，x≥1 x3+6x-6，x＜1

，f′(x)=

3x2-6，x≥1 3x2+6，x＜1

，令f′（x）＞0，得x＜1或x＞

2

，令f′（x）＜0，得1＜x＜

2

．結(jié)合x∈[0，

3

]，能求出f（x）在區(qū)間x∈[0，

3

]上的最值．
（2）由f（x）=x³-3a|x-1|=

x3-3ax+3a，x≥1 x3+3ax-3a，x＜1

，知f′(x)=

3x2-3a，x≥1 3x2+3a，x＜1

，分類討論能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x³-6|x-1|=

x3-6x+6，x≥1 x3+6x-6，x＜1

，
∴f′(x)=

3x2-6，x≥1 3x2+6，x＜1

，
令f′（x）＞0，得x＜1或x＞

2

，
令f′（x）＜0，得1＜x＜

2

．
∵x∈[0，

3

]，
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，在[1，

2

]上單調(diào)遞減，在[ 

2

，

3

]上單調(diào)遞增．
∵f（0）=-6，f(

2

) =2

2

-6

2

+6=6-4

2

＜-6，
∴f（x）_min=-6．
∵f（1）=1-6+6=1，f（

3

）=3

3

-6

3

+6=6-3

3

＜1，
∴f（x）_max=1．
（2）∵f（x）=x³-3a|x-1|=

x3-3ax+3a，x≥1 x3+3ax-3a，x＜1

，
∴f′(x)=

3x2-3a，x≥1 3x2+3a，x＜1

，
分類討論如下：
①當(dāng)a=0時(shí)，∵f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，
（i）當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）=3x²+3a＞0，∴f（x）在（-∞，1）上遞增；
（ii）當(dāng)x≥1時(shí)．令f′（x）=0，得x=

a

或x=-

a

（舍），比較

a

與1的大小，再分類如下：
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，∵f′（x）=3x²-3a≥0，∴f（x）在（1，+∞）上遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，由f′（x）=3x²-3a＜0，得1＜x＜

a

；由f′（x）=3x²-3a≥0，得x＞

a

，
∴f（x）在（1，

a

）遞減，在(

a

，+∞)上遞增．
③當(dāng)a＜0時(shí)，
此時(shí)，當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=3x²-3a≥0，∴f（x）在（1，+∞）上遞增；
當(dāng)x＜1時(shí)，令f′（x）=0，得x=-

-a

或x=

-a

，
比較

-a

與1的大小，再分類討論如下：
（i）當(dāng)

-a

＜1，即-1＜a＜0時(shí)，
由f′（x）=3x²+3a＞0，得x∈(-∞，-

-a

)∪(

-a

，1)，
由f′（x）＜0，得x∈(-

-a

，

-a

)，
∴f（x）在(-∞-

a

)和(

-a

，1)上單調(diào)遞增，在(-

-a

，

-a

)上單調(diào)遞減；
（ii）當(dāng)

-a

≥1，即a≤-1時(shí)，
由f′（x）=3x²+3a＞0，得x∈(-∞，-

-a

)，
由f′（x）＜0，得x∈(-

-a

，1)，
∴f（x）在(-∞，-

a

)上單調(diào)遞增，在(-

-a

，1)上單調(diào)遞減．
綜上所述：
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，

a

）遞減，在(

a

，+∞)上遞增；
當(dāng)0≤a＜1時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，-

-a

）上單調(diào)遞增，在(- 

-a

，

-a

)單調(diào)遞減，在（

-a

，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）在(-∞，-

-a

)上單調(diào)遞增，在（-

-a

，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)最值的求法和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的討論．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．易錯(cuò)點(diǎn)是分類不清導(dǎo)致出錯(cuò)．