在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1，CC1的中點(diǎn)．
（1）求B到平面AMN的距離
（2）求二面角B-AM-N的余弦值．
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析：（1）利用等體積法，求B到平面AMN的距離
（2）求出B到直線AM的距離，即可求二面角B-AM-N的余弦值．
解答： 解：（1）在四面體N-ABM中，S△ABM=
1
2
a2，N到平面ABM的距離為a，
在△AMN中，AN=
2a2+
a2
4
=
3
2
a，MN=
a2
4
+a2+
a2
4
=
6
2
a，AM=
a2+
a2
4
=
5
2
a，
∴cos∠MAN=
9
4
a2+
5
4
a2-
6
4
a2
2•
3
2
a•
5
2
a
=
4
5
15
，
∴sin∠MAN=
145
15
，
∴S△AMN=
1
2
•
3
2
a•
5
2
a•
145
15
=
29
8
a2
∴由等體積可得
1
3
•
1
2
a2•a=
1
3
•
29
8
a2h，
∴h=
4
29
29
a；
（2）設(shè)B到直線AM的距離為d，則
由等面積可得d•
5
2
a=a•a，∴d=
2
5
a，
由（1）知B到平面AMN的距離為
4
29
29
a，
設(shè)二面角B-AM-N為θ，則sinθ=
4
29
2
5
=
2
5
29
．
∴cosθ=
3
29
29
．
點(diǎn)評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合，考查點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，正確運(yùn)用等體積法是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若P為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上異于長軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，求
a-b
a+b
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且 xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立．
（1）求函數(shù)F（x）=
f(x)
x
的單調(diào)區(qū)間．
（2）若函數(shù)f（x）=lnx+ax2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍
（3）設(shè)x0是f（x）的零點(diǎn)，m，n∈（0，x0），求證：
f(m+n)
f(m)+f(n)
＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義集合A與B的差集A-B={x|x∈A且x∉B}，記“從集合A中任取一個(gè)元素x，x∈A-B”為事件E，“從集合A中任取一個(gè)元素x，x∈A∩B”為事件F；P（E）為事件E發(fā)生的概率，P（F）為事件F發(fā)生的概率，當(dāng)a、b∈Z，且a＜-1，b≥1時(shí)，設(shè)集合A={x∈Z|a＜x＜0}，集合B={x∈Z|-b＜x＜b}．給出以下判斷：
①當(dāng)a=-4，b=2時(shí)P（E）=
2
3
，P（F）=
1
3
； 
②總有P（E）+P（F）=1成立；
③若P（E）=1，則a=-2，b=1；        
④P（F）不可能等于1．
其中所有正確判斷的序號為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=lnx+1，g（x）=ax+
a-1
x
，F(xiàn)（X）=f（x）-g（x）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)F（x）在區(qū)間[
1
e
，e]上的最大值；
（2）若a≤
1
2
，求函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）在曲線y=f（x）上任取兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），（x1＜x2），直線PQ的斜率為k，試探索：kx1，1，kx2 三者的大小關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
k
0
是矩陣A=
1   0
m  2
的一個(gè)特征向量．
（Ⅰ）求m的值和向量
k
0
相應(yīng)的特征值；
（Ⅱ）若矩陣B=
3  2
2  1
，求矩陣B-1A．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)校組織學(xué)生參加體育二課堂訓(xùn)練，三個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)分布如下表（每名學(xué)生只能參加一項(xiàng)）：
 短跑長跑跳高
男生30328
女生252m
學(xué)生要對著三個(gè)項(xiàng)目學(xué)生參加情況進(jìn)行抽樣調(diào)查，按分層抽樣的方法從三個(gè)項(xiàng)目中抽取18人，結(jié)果參加跳高的項(xiàng)目被抽出了6人．
（Ⅰ）求跳高項(xiàng)目中被抽出的6人中有5人是男生的概率；
（Ⅱ）設(shè)跳高項(xiàng)目有X名女生被抽出，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=log2x-3sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知線性方程組的增廣矩陣為
11
0a
6
2
，若該線性方程組解為
4
2
，則實(shí)數(shù)a=
 
．

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同步練習(xí)冊答案