已知雙曲線的中心在原點,焦點在坐標軸上,離心率為,且過點(4,-)(1)求雙曲線的方程.(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:.(3)若點A,B在雙曲線上,點N(3,1)恰好是AB的中點,求直線AB的方程(12分)
(1) .(2)。

試題分析:(1)根據(jù)離心率為,可知雙曲線為等軸雙曲線,可設雙曲線的方程為,再根據(jù)它過點(4,-)代入雙曲線方程求出參數(shù)值,方程確定.
(2)根據(jù)點M(3,m)在雙曲線上,可求出m值,然后求出,從而得到.
(3)因為N(3,1)為弦AB的中點,可利用點差法求得直線的斜率,進而寫出點斜式方程.
(1) ∵離心率為,∴雙曲線為等軸雙曲線.∵雙曲線的中心在原點,焦點在坐標軸上∴設雙曲線的方程為,
∵點(4,-)在雙曲線上∴,∴雙曲線的方程為,.(2)∵M(3,m)在雙曲線上,∴,,,∴
.(3)∵點N(3,1)恰好是弦AB的中點∴有點差法易得,∴直線AB的方程為

點評:當知道弦中點時,可利用點差法求得弦所在直線的斜率,寫出點斜式方程再化成一般式方程即可.
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