Question

【題目】已知等差數(shù)列與數(shù)列滿足，，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，的前n項(xiàng)的和分別為，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）令，可由求出，進(jìn)而求出，得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，于是有，構(gòu)造數(shù)列，設(shè)，可變形得到，求出，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式．其它解法參考解析；

（2）要證，即證，根據(jù)的表達(dá)式可知其關(guān)于單調(diào)遞增，即證，再通過(guò)放縮法即可證出，多種放縮方式見(jiàn)解析．

（1）令有，所以，即，所以，即．由得，

設(shè)，則，可得，

又，故，則．

解法2：由，有，（），相減得

，（），

則，，……，，

相加得，則，（），

當(dāng)時(shí)上式也成立．

又得，故．

解法3：由構(gòu)造等比也可以．

（2）只需證．

由（1）有，所以，記為，

而，所以單調(diào)遞增，

有

只需證．

證法1：∵

故

．

證法2：

又

則

所以．

證法3：∵，

∴

．