【題目】設(shè)橢圓()的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長為．

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（I）結(jié)合離心率，得到a,b,c的關(guān)系，計算A的坐標(biāo)，計算切線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，計算參數(shù)，即可。（II）分切線斜率存在與不存在討論，設(shè)出M,N的坐標(biāo)，設(shè)出切線方程，結(jié)合圓心到切線距離公式，得到m,k的關(guān)系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關(guān)系，表示，結(jié)合三角形相似，證明結(jié)論，即可。

(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，

∴橢圓的方程可設(shè)為.

易求得，∴點(diǎn)在橢圓上，∴，

解得，∴橢圓的方程為.

(Ⅱ)當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設(shè)切線方程為，由(Ⅰ)知，，

，∴.

當(dāng)過點(diǎn)且與圓相切的切線斜率存在時，可設(shè)切線的方程為，，

∴，即.

聯(lián)立直線和橢圓的方程得，

∴，得.

∵，

∴，

，

∴.

綜上所述，圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，都有.

在中，由與相似得，為定值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知焦點(diǎn)在x軸的橢圓C：離心率e=，A是左頂點(diǎn)，E（2，0）

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

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【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)a＝1時，寫出的單調(diào)遞增區(qū)間（不需寫出推證過程）；

（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，若直線y＝4與函數(shù)的圖像交于A，B兩點(diǎn)，記，求的最大值；

（Ⅲ）若關(guān)于x的方程在區(qū)間（1，2）上有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問到誰申請了北京大學(xué)的自主招生考試時，甲說：“丙或丁申請了”；乙說：“丙申請了”；丙說：“甲和丁都沒有申請”；丁說：“乙申請了”，如果這四位同學(xué)中只有兩人說的是對的，那么申請了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______．

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【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若，當(dāng)時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）若不等式在上恒成立，求a的取值范圍；

（2）若函數(shù)恰好有三個零點(diǎn)，求b的值及該函數(shù)的零點(diǎn)．

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【題目】在，點(diǎn)M是外一點(diǎn)，BM=2CM=2，則AM的最大值與最小值的差為____________．

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【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，和是函數(shù)的兩個不同零點(diǎn)，且，，求；

（Ⅱ）若對任意，都存在（為自然對數(shù)的底數(shù)），使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】某校為緩解高三學(xué)生的高考壓力，經(jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓(xùn)練活動，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練后從該年級800名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行測試，并將其成績分為、、、、五個等級，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示（視頻率為概率），根據(jù)圖中抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)，回答下列問題：

（1）試估算該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)?/span>的人數(shù)；

（2）若等級、、、、分別對應(yīng)100分、90分、80分、70分、60分，學(xué)校要求當(dāng)學(xué)生獲得的等級成績的平均分大于90分時，高三學(xué)生的考前心理穩(wěn)定，整體過關(guān)，請問該校高三年級目前學(xué)生的考前心理穩(wěn)定情況是否整體過關(guān)？

（3）以每個學(xué)生的心理都培養(yǎng)成為健康狀態(tài)為目標(biāo)，學(xué)校決定對成績等級為的16名學(xué)生（其中男生4人，女生12人）進(jìn)行特殊的一對一幫扶培訓(xùn)，從按分層抽樣抽取的4人中任意抽取2名，求恰好抽到1名男生的概率..

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