Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=|b_n-a₅|，求{c_n}的前項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，由已知條件，列出方程組，分別求出等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，由此能求出a_n與b_n．
（2）由（1）及c_n=|b_n-a₅|，推導(dǎo)出c_n=|3^n-1-15|=

15-3n-1，n≤3 3n-1-15，n≥4

，由此利用分組求和法能求出{c_n}的前項和T_n．

解答： （本題滿分14分）
解：（1）∵等比數(shù)列{b_n}的各項均為正數(shù)，b₁=1，
公比為q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

，等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，
∴

b2+s2=12 q= s2 b2

，即

q+6+d=12 q= 6+d q

，解得q=3，或q=-4（舍），d=3，
∴a_n=3n，bn=3n-1（7分）
（2）∵c_n=|b_n-a₅|，
∴c_n=|3^n-1-15|=

15-3n-1，n≤3 3n-1-15，n≥4

，
∴當(dāng)n≤3時，Tn=15n-

1×(1-3n)

1-3

=-

3n

2

+15n+

1

2

，
當(dāng)n≥4時，T_n=

1×(1-3n)

1-3

-15n+2T₃=

3n

2

-15n+

127

2

．
∴Tn=

- 3n 2 +15n+ 1 2 ，n≤3 3n 2 -15n+ 127 2 ，n≥4

．（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意公組求和法的合理運(yùn)用．