（14分）設(shè)A．B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

（1）若A．B滿足，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值；

    （2）若過(guò)A．B的橢圓的兩條切線的交點(diǎn)在直線x+2y=5上，求證直線AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)。

解析：證明：（1）①若OA，OB的斜率都存在時(shí)，設(shè)OA方程為，代入橢圓方程，得  同理，直線OB的方程為   +

②當(dāng)直線OA．OB的斜率有一條存在另一條不存在時(shí)

或或

（2）也成立。        …………6分

設(shè)，點(diǎn)也在橢圓上

兩式相減得，令得切線的斜率為，切線方程為 ，

再由點(diǎn)A在橢圓上，得過(guò)A的切線方程為            ……8分

同理過(guò)B的切線方程為：，設(shè)兩切線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則：

，即AB的方程為：，又，消去，得：

直線AB恒過(guò)定點(diǎn)。                    …………14分
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•浙江模擬）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，直線l：x=-
1
2
將線段F1F2分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1：3．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 求
F2P
•
F2Q
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•宿遷一模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
6
3
，一條準(zhǔn)線方程為x=
3
6
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)G，H為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OG⊥OH．
①當(dāng)直線OG的傾斜角為60°時(shí)，求△GOH的面積；
②是否存在以原點(diǎn)O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請(qǐng)求出該定圓方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009年合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)(理科)試題 題型：044

設(shè)A，B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．

(1)若A，B滿足，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值；

(2)若過(guò)A，B的橢圓的兩條切線的交點(diǎn)在直線x＋2y＝5上，求證直線AB恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年北京市高三起點(diǎn)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

    已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，離心率為，且拋物線與橢圓C1有公共焦點(diǎn)F2（1，0）。

   （1）求橢圓和拋物線的方程；

   （2）設(shè)A、B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，過(guò)原點(diǎn)O作直線AB的垂線OD，垂足為D，求點(diǎn)D為軌跡方程。

 

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