【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(wx+φ)(w>0,0<φ<π)的周期為π,圖象的一個對稱中心為( ,0),將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向右平移個 單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象.
(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式
(2)是否存在x0∈( ),使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某種順序成等差數(shù)列?若存在,請確定x0的個數(shù),若不存在,說明理由;
(3)求實數(shù)a與正整數(shù)n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個零點.
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期為π,
∴ω= =2,
又曲線y=f(x)的一個對稱中心為 ,φ∈(0,π),
故f( )=sin(2× +φ)=0,得φ= ,所以f(x)=cos2x.
將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)后可得y=cosx的圖象,
再將y=cosx的圖象向右平移 個單位長度后得到函數(shù)g(x)=cos(x﹣ )的圖象,
∴g(x)=sinx.
(2)解:當x∈( , )時, <sinx< ,0<cosx< ,
∴sinx>cos2x>sinxcos2x,
問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在( , )內(nèi)是否有解.
設(shè)G(x)=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x,x∈( , ),
則G′(x)=cosx+cosxcos2x+2sin2x(2﹣sinx),
∵x∈( , ),
∴G′(x)>0,G(x)在( , )內(nèi)單調(diào)遞增,
又G( )=﹣ <0,G( )= >0,且G(x)的圖象連續(xù)不斷,故可知函數(shù)G(x)在( , )內(nèi)存在唯一零點x0,即存在唯一零點x0∈( , )滿足題意
(3)解:依題意,F(xiàn)(x)=asinx+cos2x,令F(x)=asinx+cos2x=0,
當sinx=0,即x=kπ(k∈Z)時,cos2x=1,從而x=kπ(k∈Z)不是方程F(x)=0的解,
∴方程F(x)=0等價于關(guān)于x的方程a=﹣ ,x≠kπ(k∈Z).
現(xiàn)研究x∈(0,π)∪(π,2π)時方程a=﹣ 的解的情況.
令h(x)=﹣ ,x∈(0,π)∪(π,2π),
則問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h(x),x∈(0,π)∪(π,2π)的交點情況.
h′(x)= ,令h′(x)=0,得x= 或x= ,
當x變換時,h′(x),h(x)的變化情況如下表:
x | (0, ) | ( ,π) | (π, ) | ( ,2π) | ||
h′(x) | + | 0 | ﹣ | ﹣ | 0 | + |
h(x) | ↗ | 1 | ↘ | ↘ | ﹣1 | ↗ |
當x>0且x趨近于0時,h(x)趨向于﹣∞,
當x<π且x趨近于π時,h(x)趨向于﹣∞,
當x>π且x趨近于π時,h(x)趨向于+∞,
當x<2π且x趨近于2π時,h(x)趨向于+∞,
故當a>1時,直線y=a與曲線y=h(x)在(0,π)內(nèi)無交點,在(π,2π)內(nèi)有2個交點;
當a<﹣1時,直線y=a與曲線y=h(x)在(0,π)內(nèi)有2個交點,在(π,2π)內(nèi)無交點;
當﹣1<a<1時,直線y=a與曲線y=h(x)在(0,π)內(nèi)有2個交點,在(π,2π)內(nèi)有2個交點;
由函數(shù)h(x)的周期性,可知當a≠±1時,直線y=a與曲線y=h(x)在(0,nπ)內(nèi)總有偶數(shù)個交點,從而不存在正整數(shù)n,使得直線y=a與曲線y=h(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個零點;
又當a=1或a=﹣1時,直線y=a與曲線y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)內(nèi)有3個交點,由周期性,2013=3×671,
∴依題意得n=671×2=1342.
綜上,當a=1,n=1342,或a=﹣1,n=1342時,函數(shù)F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)內(nèi)恰有2013個零點.
【解析】【(1)依題意,可求得ω=2,φ= ,利用三角函數(shù)的圖象變換可求得g(x)=sinx;(2)依題意,當x∈( , )時, <sinx< ,0<cosx< sinx>cos2x>sinxcos2x,問題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在( , )內(nèi)是否有解.通過G′(x)>0,可知G(x)在( , )內(nèi)單調(diào)遞增,而G( )<0,G( )>0,從而可得答案;(3)依題意,F(xiàn)(x)=asinx+cos2x,令F(x)=asinx+cos2x=0,方程F(x)=0等價于關(guān)于x的方程a=﹣ ,x≠kπ(k∈Z).問題轉(zhuǎn)化為研究直線y=a與曲線y=h(x),x∈(0,π)∪(π,2π)的交點情況.通過其導(dǎo)數(shù),列表分析即可求得答案.
【考點精析】關(guān)于本題考查的基本求導(dǎo)法則和等差數(shù)列的通項公式(及其變式),需要了解若兩個函數(shù)可導(dǎo),則它們和、差、積、商必可導(dǎo);若兩個函數(shù)均不可導(dǎo),則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo);通項公式:或才能得出正確答案.
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【題目】在平面直角坐標中,圓與圓相交與兩點.
(I)求線段的長.
(II)記圓與軸正半軸交于點,點在圓C上滑動,求面積最大時的直線的方程.
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【題目】橢圓Γ: =1(a>b>0)的左右焦點分別為F1 , F2 , 焦距為2c,若直線y= 與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2=2∠MF2F1 , 則該橢圓的離心率等于 .
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【題目】某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為 ,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為 ,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品.
(1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為x,求x≤3的概率;
(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大?
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,以軸為始邊做兩個銳角,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知A,B的橫坐標分別為
(1)求的值; (2)求的值。
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【題目】(本小題滿分12分)
已知,函數(shù).
(I)當為何值時, 取得最大值?證明你的結(jié)論;
(II) 設(shè)在上是單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(III)設(shè),當時, 恒成立,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線方程為.
(1)求,的值;
(2)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)函數(shù),且在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù), 是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則的圖象大致是( )
A. [Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2018/4/12/1922378615128064/1923439395356672/STEM/8f50d3dfba9b485fac00e42a95909498.png] B. [Failed to download image : http://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/2018/4/12/1922378615128064/1923439395356672/STEM/74ae44978a70424c961e850ed79072da.png]
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