Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+

1

2

|x-3|
（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+

1

2

）的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（ I）去絕對值可得f（x）=

- 3 2 x+ 5 2 ，x≤1 1 2 x+ 1 2 ，1＜x≤3 3 2 x- 5 2 ，x＞3

，可得原不等式f（x）＞2等價于

- 3 2 x+ 5 2 ＞2 x≤1

或

1 2 x+ 1 2 ＞2 1＜x≤3

或  

3 2 x- 5 2 ＞2 x＞3

，解不等式組可得；
（ II）作出f（x）圖象，結(jié)合圖象可得a的取值．

解答： 解：（ I）去絕對值可得f（x）=|x-1|+

1

2

|x-3|=

- 3 2 x+ 5 2 ，x≤1 1 2 x+ 1 2 ，1＜x≤3 3 2 x- 5 2 ，x＞3

，
∴原不等式f（x）＞2等價于

- 3 2 x+ 5 2 ＞2 x≤1

或

1 2 x+ 1 2 ＞2 1＜x≤3

或  

3 2 x- 5 2 ＞2 x＞3

解以上不等式組取并集可得原不等式解集為(-∞，

1

3

)∪(3，+∞)；
（ II）f（x）圖象如圖所示，其中A（1，1），B（3，2），
f(x)=|x-1|+

1

2

|x-3|=

5 2 - 3 2 x，x≤1 1 2 x+ 1 2 ，1＜x＜3 3 2 x- 5 2 ，x≥3

，直線y=a(x+

1

2

)繞點(-

1

2

，0)旋轉(zhuǎn)，
由圖可得不等式f（x）≤a(x+

1

2

)的解集非空時，a的范圍為(-∞，-

3

2

)∪[

4

7

，+∞)

點評：本題考查絕對值不等式的解法及應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．