Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立，記b_n=

4+an

1-an

(n∈N*)，已知數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為R_n，正實(shí)數(shù)λ滿足：R_n≤λn對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，則λ的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5a₁+1，求得a₁=-

1

4

，又由a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，兩式相減，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得a_n，進(jìn)而得到b_n，設(shè)n=2k+1（k∈N⁺）推出R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1＞4n-1，由此入手能推導(dǎo)出正實(shí)數(shù)λ的最小值為4．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=5a₁+1，∴a₁=-

1

4

，
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，即a_n+1=-

1

4

a_n，
∴數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，其首項(xiàng)-

1

4

，公比是-

1

4

，
∴a_n=（-

1

4

）•（-

1

4

）^n-1=（-

1

4

）ⁿ．
∴b_n=

4+(- 1 4 )n

1-(- 1 4 )n

=4+

5

(-4)n-1

，
一方面，已知R_n≤λn恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k+1（k∈N⁺）
則R_n=b₁+b₂+…+b_2k+1
=4n+5×（-

1

41+1

+

1

42-1

-

1

43+1

+…-

1

42k+1+1

）=4n+5×[-

1

41+1

+（

1

42-1

-

1

43+1

）+…+
（

1

42k-1

-

1

42k+1+1

）]
＞4n-1
∴λn≥R_n＞4n-1，即（λ-4）n＞-1對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立
∴λ≥4否則，（λ-4）n＞-1只對(duì)滿足n＜

1

4-λ

的正奇數(shù)n成立，矛盾．
另一方面，當(dāng)λ=4時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有R_n≤4n
事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)k，有b_2n-1+b_2n=8+

5

(-4)2k+1-1

+

5

(-4)2k-1

=8+

5

16k-1

-

20

16k+4

=8-

15×16k-40

(16k-1)(16k+4)

，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-1+b_2n）＜8m，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1（m∈N⁺）
則R_n=（b₁+b₂）+（b₃+b₄）+…+（b_2n-3+b_2n-2）+b_2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴對(duì)一切的正整數(shù)n，都有R_n≤4n
綜上所述，正實(shí)數(shù)λ的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力．