Question

14．已知關于x的函數f（x）=x²-2ax+2．
（1）當a≤2時，求f（x）在[$\frac{1}{3}$，3]上的最小值g（a）；
（2）如果函數f（x）同時滿足：
        ①函數在整個定義域上是單調增函數或單調減函數；
        ②在函數的定義域內存在區(qū)間[p，q]，使得函數在區(qū)間[p，q]上的值域為[p²，q²]．則我們稱函數f（x）是該定義域上的“閉函數”．
（i）若關于x的函數y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+t（x≥1）是“閉函數”，求實數t的取值范圍；
（ii）判斷（1）中g（a）是否為“閉函數”？若是，求出p，q的值或關系式；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對于函數f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²，根據對稱軸，分類討論即可，
（2）（i）據和諧函數的定義，列出方程組，可得p²，q²為方程$\sqrt{{x}^{2}-1}$+t=x的二實根，再由二次方程實根的分布，即可得到所求t的范圍
（ii）由新定義，假設g（a）為“和諧函數”，討論p，q的范圍，通過方程的解即可判斷

解答 解：（1）函數f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²，其對稱軸方程為x=a，
當a≤$\frac{1}{3}$時，f（x）在[$\frac{1}{3}$，3]上單調遞增，其最小值為g（a）=f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{19}{9}$-$\frac{2a}{3}$；
當$\frac{1}{3}$≤a≤2時，f（x）在[$\frac{1}{3}$，3]上的最小值為g（a）=f（a）=2-a²；
函數f（x）=x²-2ax+2在[$\frac{1}{3}$，3]上的最小值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{19}{9}-\frac{2a}{3}，a≤\frac{1}{3}}\\{2-{a}^{2}，\frac{1}{3}＜a≤2}\end{array}\right.$
（2）（i）∵y=$\sqrt{{x}^{2}-1}$+t在[1，+∞）遞增，
由閉函數的定義知，該函數在定義域[1，+∞）內，
存在區(qū)間[p，q]（p＜q），使得該函數在區(qū)間[p，q]上的值域為[p²，q²]，所以p≥1，${\;}_{\;}^{\;}$$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{p}^{2}-1}+t={p}^{2}}\\{\sqrt{{q}^{2}-1}+t={q}^{2}}\end{array}\right.$，
∴p²，q²為方程$\sqrt{{x}^{2}-1}$+t=x的二實根，
即方程x²-（2t+1）x+t²+1=0在[1，+∞）上存在兩個不等的實根且x≥t恒成立，
令u（x）=x²-（2t+1）x+t²+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{\frac{2t+1}{2}＞1}\\{u（1）≥0}\\{t≤1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{t＞\frac{3}{4}}\\{t＞\frac{1}{2}}\\{（t-1）^{2}≥0}\\{t≤1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{3}{4}$＜t≤1
∴實數t的取值范圍（$\frac{3}{4}$，1]．
（ii）對于（1），易知g（a）在（-∞，2]上為減函數，
①若p＜q≤$\frac{1}{3}$，g（a）遞減，若g（a）為“閉函數”，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{19}{9}-\frac{2p}{3}={q}^{2}}\\{\frac{19}{9}-\frac{2q}{3}={p}^{2}}\end{array}\right.$，
兩式相減得p+q=$\frac{2}{3}$，這與p＜q≤$\frac{1}{3}$矛盾．
②$\frac{1}{3}$＜p＜q≤2時，若g（a）為“閉函數”，則$\left\{\begin{array}{l}{2-{p}^{2}={q}^{2}}\\{2-{q}^{2}={p}^{2}}\end{array}\right.$
此時p²+q²=2滿足條件的p，q存在，
∴$\frac{1}{3}$＜p＜q≤2時，使得g（a）為“閉函數”p，q存在，
③p≤$\frac{1}{3}$＜q≤2時，若g（a）為“閉函數”，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{19}{9}-\frac{2p}{3}={q}^{2}}\\{2-{q}^{2}={p}^{2}}\end{array}\right.$，
消去q得9p²-6p+1=0，即（3p-1）²=0
解得p=$\frac{1}{3}$此時，q=$\frac{\sqrt{17}}{3}$＜2，且p²+q²=2
∴p=$\frac{1}{3}$＜q≤2時，使得g（a）為“閉函數”p，q存在，
綜上所述，當p，q滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}≤p＜q≤2}\\{{p}^{2}+{q}^{2}=2}\end{array}\right.$時，g（a）為“閉函數”

點評 本題考查新定義題，關鍵是理解題中的新定義，此題型是近幾年高考�？碱}型．求分段函數的函數值關鍵是判斷出自變量所屬的范圍．