Question

8．如圖所示，四邊形ABCD的外接圓為圓O，線段AB與線段DC的延長線交于點(diǎn)E，$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{3}$．
（1）若BC=1，求BE的長度；
（2）若AC為∠DAB的角平分線，記BE=λDC（λ∈R），求λ的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形相似的判定和性質(zhì)，即可求得BE=3；
（2）運(yùn)用三角形的內(nèi)角平分線定理和圓的切割線定理，結(jié)合條件，即可得到λ的值為3．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD的外接圓為圓O，
線段AB與線段DC的延長線交于點(diǎn)E，
由∠BCE=∠DAE，∠BEC=∠DEA，
∴△EBC∽△EDA，
∴$\frac{BE}{DE}=\frac{BC}{AD}$，
∵$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{3}$，BC=1，
∴BE=3；
（2）在△DAE中，AC為∠DAB的角平分線，
則$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DC}{CE}$，即有AD•CE=AE•DC①
由于EA，ED是圓的兩條割線，
則DE•CE=AE•BE②
①÷②，$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DC}{BE}$，
由$\frac{AD}{DE}$=$\frac{1}{3}$，可得$\frac{DC}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
由BE=λDC（λ∈R），
可得λ=3．

點(diǎn)評 本題考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，主要三角形相似的判定和性質(zhì)，同時考查三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)和圓的切割線定理的運(yùn)用，屬于中檔題．