Question

已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為4，側(cè)棱長為8，E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點，求△AEF的周長最小值．

Answer 1

解：沿三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA剪開后再展開，如圖，

原圖中△AEF的周長最小，也就是展開圖中的AA^′，
在△PAB中，因為PA=PB=8，AB=4，
設(shè)∠APB=α，則=．
∠APA^′=3α，
由cos3α=4cos³α-3cosα==．
在△APA^′中，由余弦定理得：
AA^′2=PA²+PA^′2-2PA•PA^′cos3α
=
=121．
所以，AA^′=11．
所以，△AEF的周長最小值為11．
分析：根據(jù)給出的正三棱錐的側(cè)棱長和底面邊長知，兩條側(cè)棱的夾角為銳角，然后求出該銳角的三倍角的余弦值，使原圖形中的
△AEF的周長最小，就是求沿PA剪開再展開后A點與A^′點的最短距離，即直線距離，運用余弦定理可求解．
點評：本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了距離最短問題，該類問題通常比喻“螞蟻爬行問題”，解答的方法是沿一定的棱或母線把多面體或旋轉(zhuǎn)體剪開，然后再展開，求兩點間的直線距離問題，是中檔題．