Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

sinx+

3

2

cosx．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期和在區(qū)間[0，π]上的值域；
（II）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若f(A)=

3

2

，且a=

3

2

b，求角C．

Answer 1

分析：（I）利用輔助角公式化簡(jiǎn)，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期和在區(qū)間[0，π]上的值域；
（II）先求A，再利用正弦定理求B，從而可求C．

解答：解：（I）∵f(x)=

1

2

sinx+

3

2

cosx=sin(x+

π

3

)…（2分）
∴f（x）的最小正周期為2π．                 …（3分）
因?yàn)閤∈[0，+∞]，所以x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，…（4分）
所以f（x）值域?yàn)?span id="uw7mddt" class="MathJye">[-

3

2

，1]．                 …（6分）
（II）由（I）可知，f(A)=sin(A+

π

3

)，∴sin(A+

π

3

)=

3

2

…（7分）
∵0＜A＜π，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

4π

3

…（8分）
∴A+

π

3

=

2π

3

，得A=

π

3

．                  …（9分）
∵a=

3

2

b，且

a

sinA

=

b

sinB

，…（10分）
∴

3 2 b

3 2

=

b

sinB

，∴sinB=1，…（11分）
∵0＜B＜π，∴B=

π

2

…（12分）
∴C=π-A-B=

π

6

．                      …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．