Question

如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線AB與函數(shù)y=log₄x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作x軸的垂線與函數(shù)y=log₂x的圖象分別交于C、D兩點(diǎn)，若線段BD平行于x軸，則四邊形ABCD的面積為（　�。�

• A．1
• B．

  5

  2

• C．2
• D．

  3

  2

Answer 1

分析：設(shè)出A、B的坐標(biāo)，解出C、D的坐標(biāo)，求出OC、OD的斜率相等利用三點(diǎn)共線得出A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系．再根據(jù)BD平行x軸，B、D縱坐標(biāo)相等，推出橫坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合之前得出A、B的坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求出A的坐標(biāo)，最后利用梯形的面積公式求解即可．

解答：解：設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
由題設(shè)知，x₁＞1，x₂＞1．
則點(diǎn)A、B縱坐標(biāo)分別為log₄x₁、log₄x₂．
∵A、B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，
∴

log4x1

x1

=

log4x2

x2

，
點(diǎn)D、C坐標(biāo)分別為（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于BD平行于x軸知log₂x₁=log₄x₂，
即得log₂x₁=

1

2

log₂x₂，
∴x₂=x₁²．
代入x₂log₄x₁=x₁log₄x₂得x₁²log₄x₁=2x₁log₄x₁．
由于x₁＞1知log₄x₁≠0，
∴x₁²=2x₁．
考慮x₁＞1解得x₁=2．
于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，log₄2），即A（2，

1

2

），
∴B（4，1），C（4，2），D（2，1）．，
∴梯形ABCD的面積為S=

1

2

（AD+BC）×BD=

1

2

•（

1

2

+1）×2=

3

2

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、對(duì)數(shù)換底公式、對(duì)數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和分析問(wèn)題的能力．