Question

已知圓錐曲線C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)）和定點(diǎn)A（0，

3

），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是此圓錐曲線的左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線AF₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)F₁，且與直線AF₂垂直的直線l交此圓錐曲線于M、N兩點(diǎn)，求||MF₁|-|NF₁||的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）先求出圓錐曲線的普通方程，直線AF₂的直角坐標(biāo)方程，再求直線AF₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求出l的參數(shù)方程，利用參數(shù)的幾何意義，可求||MF₁|-|NF₁||的值．

解答： 解：（Ⅰ）圓錐曲線C：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數(shù)），消去參數(shù)可得C：

x2

4

+

y2

3

=1，軌跡為橢圓，其焦點(diǎn)F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），kAF2=-

3

，AF2：y=-

3

(x-1)
把x=ρcosα，y=ρsinα代入得到AF2：ρsinθ+ρ

3

cosθ=

3

，即ρsin(θ+

π

3

)=

3

2

…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）kAF2=-

3

，∵l⊥AF₂，∴l(xiāng)的斜率為

3

3

，傾斜角為30°，
∴l(xiāng)的參數(shù)方程為

x=-1+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數(shù)）
代入橢圓C的方程中，得：13t2-12

3

t-36=0
∵M(jìn)、N在F₁的異側(cè)，
∴||MF1|-|NF1||=|t1+t2|=

12 3

13

…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了橢圓的參數(shù)方程、標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式x=ρcosα，y=ρsinα、直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義和弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于難題．