Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點O、E分別是A₁C₁、AA₁的中點，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2．
（Ⅰ）證明：OE∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求異面直線AB₁與A₁C所成的角；
（Ⅲ）求A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：解法一：（Ⅰ）證明OE∥AC₁，然后證明OE∥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）先證明A₁C⊥B₁C₁．再證明A₁C⊥平面AB₁C₁，推出異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°．
（Ⅲ） 設(shè)點C₁到平面AA₁B₁的距離為d，通過，求出A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值．
解法二：如圖建系O-xyz，求出A，A₁，E，C₁，B₁，C的坐標
（Ⅰ）通過計算，證明OE∥AC₁，然后證明OE∥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）通過，證明AB₁⊥A₁C，推出異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°．
（Ⅲ）設(shè)A₁C₁與平面AA₁B₁所成角為θ，設(shè)平面AA₁B₁的一個法向量是利用推出，通過，求出A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值．
解答：解法一：（Ⅰ）證明：∵點O、E分別是A₁C₁、AA₁的中點，
∴OE∥AC₁，又∵EO?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，
∴OE∥平面AB₁C₁．（4分）
（Ⅱ）∵AO⊥平面A₁B₁C₁，∴AO⊥B₁C₁，又∵A₁C₁⊥B₁C₁，且A₁C₁∩AO=O，
∴B₁C₁⊥平面A₁C₁CA，∴A₁C⊥B₁C₁．（6分）
又∵AA₁=AC，∴四邊形A₁C₁CA為菱形，
∴A₁C⊥AC₁，且B₁C₁∩AC₁=C₁∴A₁C⊥平面AB₁C₁，
∴AB₁⊥A₁C，即異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°．（8分）
（Ⅲ） 設(shè)點C₁到平面AA₁B₁的距離為d，∵，
即•d．（10分）
又∵在△AA₁B₁中，，∴S_△AA₁B₁=．
∴，∴A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值．（12分）
解法二：如圖建系O-xyz，，，C₁（0，1，0），B₁（2，1，0），．（2分）
（Ⅰ）∵=，，∴，即OE∥AC₁，
又∵EO?平面AB₁C₁，AC₁?平面AB₁C₁，∴OE∥平面AB₁C₁．（6分）
（Ⅱ）∵，，∴，即∴AB₁⊥A₁C，
∴異面直線AB₁與A₁C所成的角為90°．（8分）
（Ⅲ）設(shè)A₁C₁與平面AA₁B₁所成角為θ，∵，
設(shè)平面AA₁B₁的一個法向量是
則即
不妨令x=1，可得，（10分）
∴，
∴A₁C₁與平面AA₁B₁所成角的正弦值．（12分）
點評：本題考查直線與平面平行，異面直線所成的角，直線與平面所成的角的求法，考查空間想象能力，計算能力．