Question

20．過點(diǎn)P（4，1）作直線l分別交x軸、y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)△AOB面積最小時，求直線l方程；
（2）當(dāng)OA+OB取最小值時，求直線l方程．

Answer 1

分析 由題意設(shè)A（a，0），B（0，b），其中a，b為正數(shù)，可得直線的截距式為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，代點(diǎn)可得$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$=1，
（1）由基本不等式可得ab≥16，由等號成立的條件可得a和b的值，可得直線方程；
（2）OA+OB=a+b=（a+b）（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$）=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$，由基本不等式等號成立的條件可得直線的方程．

解答 解：由題意設(shè)A（a，0），B（0，b），其中a，b為正數(shù)，
可得直線的截距式為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$=1，
（1）由基本不等式可得1=$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$≥2$\sqrt{\frac{4}{ab}}$，解得ab≥16
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4}{a}$=$\frac{1}$即a=8且b=2時，上式取等號，
∴△AOB面積S=$\frac{1}{2}ab$≥8，
此時直線l的方程為$\frac{x}{8}$+$\frac{y}{2}$=1，即x+4y-8=0；
（2）OA+OB=a+b=（a+b）（$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$）
=5+$\frac{4b}{a}$+$\frac{a}$≥5+2$\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}}$=9
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}$即a=6且b=3時取等號，
此時直線l的方程為$\frac{x}{6}$+$\frac{y}{3}$=1，即x+2y-6=0．

點(diǎn)評 本題考查直線的截距式方程，涉及基本不等式求最值，屬中檔題．