Question

已知不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，且，于.

①求證：直線過定點(diǎn)；　　　　

②求點(diǎn)的軌跡方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】（1）為避免對(duì)斜率不存在情況的討論，可以設(shè)直線方程為,然后根據(jù)題目給的方程條件,即可確定b的值或找到b與t的關(guān)系,進(jìn)而確定定點(diǎn).

(2)由于第一問確定了定點(diǎn)C（2,0）,然后可知點(diǎn)E在以O(shè)C為直徑的圓上.求出此圓的方程即可.

也要利用交軌法求其軌跡方程.

解：令直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)

　　　　　　　　　（給直線方程給分）　　　　　　　　　　……………………1分

　　　　　　　  ……………………2分

 于是，、是此方程的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理得：

　　　　　　　　　　　 ……………………3分

　　   …………4分

     又　　　　　　　       　　……………………5分

∴                           ……………………6分

故直線：過定點(diǎn)　　　　　　　　　  ……………………8分

②∵,,                        ……………………9分

∴點(diǎn)的軌跡是以線段為直徑的圓除去點(diǎn)，　　　　　……………………11分

故點(diǎn)的軌跡方程為 　　　　　　……………………12分

說明：直線的方程設(shè)為又沒有討論不存在的情況扣2分；軌跡方程中沒有限制     扣1分.