Question

如圖，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，AF⊥BF，O為AB的中點(diǎn)，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）設(shè)FC的中點(diǎn)為M，求證：OM∥平面DAF．
（Ⅲ）求三棱錐C-BEF的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證AF⊥平面CBF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AF與平面CBF內(nèi)兩相交直線垂直，而AF⊥CB，AF⊥BF，BF∩BC=B，滿(mǎn)足定理?xiàng)l件；
（Ⅱ）欲證OM∥平面DAF，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證OM/與平面DAF內(nèi)一直線平行，設(shè)DF的中點(diǎn)為N，OM∥AN又AN?平面DAF，OM?平面DAF，滿(mǎn)足定理?xiàng)l件．
（III）先計(jì)算底面三角形BEF的面積，在等腰梯形ABEF中，可得此三角形的高為

3

2

，底EF為1，再計(jì)算三棱錐C-BEF的高，即為CB，最后由三棱錐體積計(jì)算公式計(jì)算即可

解答：（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF，∵AF?平面ABEF，∴AF⊥CB
又AF⊥BF，且BF∩BC=B，BF、BC?平面CBF
∴AF⊥平面CBF
（Ⅱ）解：設(shè)DF的中點(diǎn)為N，則MN

∥

.

1

2

CD，又AO

∥

.

1

2

CD，則MN

∥

.

AO，
∴MNAO為平行四邊形
∴OM∥AN
又AN?平面DAF，OM?平面DAF
∴OM∥平面DAF
（III）∵AF=1，AF⊥BF，AB=2
∴∠FAB=60°
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于H，則∠EBH=60°，
∴EH=

3

2

，EF=AB-2HB=1，
故S△BEF=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

∵CB⊥平面ABEF
∴三棱錐C-BEF的高為CB=1
∴VC-BEF=

1

3

×S△BEF×BC=

1

3

×

3

4

×1=

3

12

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．