Question

9．下列命題為真命題的有①②（填上所有真命題的序號）
①若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，則數(shù)列{2${\;}^{{a}_{n}}$}為等比數(shù)列；
③若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)og_aa_n（a＞0，a≠1）為等差數(shù)列．

Answer 1

分析 在①中，由等比數(shù)列的概念得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
在②中，由$\frac{{2}^{{a}_{n+1}}}{{2}^{{a}_{n}}}=\frac{{2}^{{a}_{n}+d}}{{2}^{{a}_{n}}}$=d，得數(shù)列{2${\;}^{{a}_{n}}$}為等比數(shù)列；
在③中，當(dāng)q＜0時，{數(shù)列l(wèi)og_aa_n（a＞0，a≠1）}不是等差數(shù)列．

解答 解：①若數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n（n∈N^*），
則由等比數(shù)列的概念得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，故①正確；
②若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
則$\frac{{2}^{{a}_{n+1}}}{{2}^{{a}_{n}}}=\frac{{2}^{{a}_{n}+d}}{{2}^{{a}_{n}}}$=d，∴數(shù)列{2${\;}^{{a}_{n}}$}為等比數(shù)列，故②正確；
③若數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a＞0，a≠1，
則數(shù)列l(wèi)og_aa_n+1-log_aa_n=（log_aa₁+nlog_aq）-[log_aa₁+（n-1）log_aq]=log_aq，
當(dāng)q＞0時，{數(shù)列l(wèi)og_aa_n（a＞0，a≠1）}為等差數(shù)列，
當(dāng)q＜0時，{數(shù)列l(wèi)og_aa_n（a＞0，a≠1）}不是等差數(shù)列．故③錯誤．
故答案為：①②．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義的合理運用．