Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和橢圓C₂：x²+y²=r²都過點(diǎn)（0，-1），且橢圓C₁的離心率為

3

2

．
（Ⅰ） 求橢圓C₁和C₂的方程；
（Ⅱ） 如圖，A，B分別為橢圓C₁的左右頂點(diǎn)，P（x₀，y₀）為圓C₂上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)P作圓C₂的切線l，交橢圓C₁與不同的兩點(diǎn)C，D，且l與x軸的交點(diǎn)為M，直線AC與直線DB的交點(diǎn)為N．
（i） 求切線l的方程；
（ii） 問點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)之積是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ） 由題意，b=1，a=2，r=1，即可求橢圓C₁和C₂的方程；
（Ⅱ）（i）分類討論，可得切線l的方程；
（ii） 由x₀x+y₀y=1，令y=0可得M的橫坐標(biāo)為x_M=

1

x0

，再求出x_N=

4x0x1x2-4x0(x1-x2)-2(x1+x2)

2x0(x1+x2)-(x1-x2)-4

=4x₀，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，b=1，a=2，r=1，
∴橢圓C₁的方程為

x2

4

+y2=1；C₂的方程為x²+y²=1；
（Ⅱ）（i） 顯然x₀≠0
①若y₀=0，則切線l的方程為x=x₀；
②若y₀≠0，則切線l的方程為y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀），即x₀x+y₀y=x₀²+y₀²，即x₀x+y₀y=1
由①②可知，切線l的方程為x₀x+y₀y=1；
（ii）由x₀x+y₀y=1，令y=0可得M的橫坐標(biāo)為x_M=

1

x0

，
x₀x+y₀y=1代入橢圓可得（y02+4x02）x²-8x₀x+4-4y02=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則
x₁+x₂=

8x0

y02+4x02

，x₁x₂=

4-4y02

y02+4x02

，
又直線AC的方程為y=

y1

x1+2

(x+2)，直線BD的方程為y=

y2

x2-2

(x-2)
∴y₁（x₂-2）（x+2）=y₁（x₁+2）（x-2），
即（1-x₀x₁）（x₂-2）（x+2）=（1-x₀x₂）（x₁+2）（x-2），
∴x_N=

4x0x1x2-4x0(x1-x2)-2(x1+x2)

2x0(x1+x2)-(x1-x2)-4

=4x₀，
∴x_Mx_N=4．
∴M，N的橫坐標(biāo)之積為定值4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．