Question

19．（理）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，則異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$
• D． $-\frac{{2\sqrt{2}}}{5}$

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系，求出異面直線AC₁與B₁C的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答 解：∵直三棱錐ABC-A₁B₁C₁底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC₁兩兩垂直．

如圖建立坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B₁（0，4，4），
∴$\overrightarrow{{AC}_{1}}$=（-3，0，4），$\overrightarrow{{CB}_{1}}$=（0，4，4），
設(shè)異面直線AC₁與B₁C所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{AC}_{1}}•\overrightarrow{{CB}_{1}}|}{\left|\overrightarrow{{AC}_{1}}\right|•\left|\overrightarrow{{CB}_{1}}\right|}$=$\frac{16}{20\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線所成的角，建立空間坐標(biāo)系，將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角，是解答的關(guān)鍵．