Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈N，y∈N₊滿足：①對任意x₁，x₂∈N₊且x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）②對任意n∈N₊都有f（f（n））=3n
（1）試證明函數(shù)f（x）為N₊上的單調(diào)增函數(shù)，
（2）求f（8）+f（18）的值．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由①知，對任意a，b∈N⁺，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，由于a-b＜0，從而f（a）＜f（b），由此能夠證明函數(shù)f（x）為N⁺上的單調(diào)增函數(shù)．
（2）令f（1）=a，則a＞1，由f（f（1））=3，即得f（a）=3．由f（a）＞f（1）=a，即a＜3．于是得1＜a＜3，又a∈N^*，從而a=2，即f（1）=2，由此能求出f（8）+f（18）

解答： 解：（1）由①知，對任意a，b∈N⁺，a＜b，都有（a-b）（f（a）-f（b））＞0，
由于a-b＜0，從而f（a）＜f（b），
所以函數(shù)f（x）為N⁺上的單調(diào)增函數(shù)．
（2）令f（1）=a，則a＞1，
顯然a≠1，否則f（f（1））=f（1）=1，與f（f（1））=3矛盾．
從而a＞1，而由f（f（1））=3，即得f（a）=3．
又由（I）知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，
又a∈N⁺，從而a=2，即f（1）=2．
而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
由于18-9=27-18=9，
而且由（1）知，函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，因此f（8）=9+6=15．
從而f（8）+f（18）=15+27=42．

點評：本題考查單調(diào)函數(shù)的證明，考查函數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，屬于中檔題