Question

如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，ADE是⊙O的割線，C是⊙O外一點，且AB=AC，連接BD，BE，CD，CE，CD交⊙O于F，CE交⊙O于G．
（1）求證：BE•CD=BD•CE；
（2）求證：FG∥AC．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段,弦切角

專題：直線與圓

分析：（1）由弦切角定理得∠ABD=∠AEB，從而△ABD∽△AEB，進(jìn)而BD•AE=AB•BE，且

AC

AE

=

AD

AC

，又∠CAD=∠EAC，從而△ADC∽△ACE，由此能證明BE•CD=BD•CE．
（2）△ADC∽△ACE，得∠ACD=∠AEC，由D，F(xiàn)，G，E四點共圓，得∠GFC=∠AEC，由此能證明FG∥AC．

解答： 證明：（1）∵AB是⊙O的切線，∴∠ABD=∠AEB，
又∠BAD=∠EAB，∴△ABD∽△AEB，
∴

BD

BE

=

AB

AE

=

AD

AB

，
又AB=BC，∴BD•AE=AB•BE，①
且

AC

AE

=

AD

AC

，又∠CAD=∠EAC，∴△ADC∽△ACE，
∴

DC

CE

=

AC

AE

，即DC•AE=AC•CE．②
由①②，得BE•CD=BD•CE．
（2）∵△ADC∽△ACE，∴∠ACD=∠AEC，
又D，F(xiàn)，G，E四點共圓，∴∠GFC=∠AEC，
∴∠GFC=∠ACD，
∴FG∥AC．

點評：本題考查兩線段乘積相等的證明，考查兩直線平行的證明，是中檔題，解題時要注意弦切角定理、三角形相似、四點共圓等知識點的合理運用．