Question

已知直線l與圓x²+y²+2x=0相切于點(diǎn)T，且與雙曲線x²-y²=1相交于A、B兩點(diǎn)．若T是線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析：設(shè)l的方程為 x=ky+a，代入雙曲線方程 整理，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得點(diǎn)T的坐標(biāo)，把點(diǎn)T的坐標(biāo)代入圓的方程得到k²=a+2，由 O'T⊥l 得  k_O'T•k_l=-1，可得 k=0，或 k²=2a+1．分類討論求得a值，即得k值，從而得到所求直線l的方程．

解答：解：直線l與x軸不平行，設(shè)l的方程為 x=ky+a，代入雙曲線方程 整理得（k²-1）y²+2kay+a²-1=0． 
 而k²-1≠0，于是

y

T

=

yA+yB

2

=-

ak

k2-1

，從而xT=kyT+a=-

a

k2-1

，即T（

a

1-k2

，

ak

1-k2

）．
∵點(diǎn)T在圓上，∴(

ak

1-k2

)2+(

a

1-k2

)2+

2a

1-k2

=0，即k²=a+2，
由圓心O'（-1，0），O'T⊥l 得  k_O'T•k_l=-1，則 k=0，或 k²=2a+1．
當(dāng)k=0時(shí)，由①得 a=-2，∴l(xiāng) 的方程為 x=-2；
當(dāng)k²=2a+1時(shí)，由①得 a=1K=±

3

，∴l(xiāng)的方程為 x=±

3

y+1．
故所求直線l的方程為x=-2或 x=±

3

y+1．

點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩直線垂直的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，得到 k=0，或 k²=2a+1是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．