已知曲線C：f（x）=3x
2-1，C上的兩點A，A
n的橫坐標(biāo)分別為2與a
n（n=1，2，3，…），a
1=4，數(shù)列{x
n}滿足
、設(shè)區(qū)間D
n=[1，a
n]（a
n＞1），當(dāng)x∈D
n時，曲線C上存在點p
n（x
n，f（x
n）），使得點p
n處的切線與AA
n平行，
（I）建立x
n與a
n的關(guān)系式；
（II）證明：
是等比數(shù)列；
（III）當(dāng)D
n+1?D
n對一切n∈N
+恒成立時，求t的范圍．
【答案】
分析：（I）因為曲線在p
n處的切線與AA
n平行，所以6x
n=
，由此可知2x
n=a
n+2．
（Ⅱ）由題意知
，所以x
n+1=t（x
n-1）
2+1，log
t（x
n+1-1）+1=2[log
t（x
n-1）+1]，由此可知{log
t（x
n-1）+1}是一個公比為2的等比數(shù)列
（III）由題設(shè)知：log
t（x
n-1）+1=（log
t2+1）2
n-1，所以
，從而
，由此可求出t的范圍．
解答：解：（I）因為曲線在p
n處的切線與AA
n平行
∴6x
n=
⇒2x
n=a
n+2
（Ⅱ）∵
∴
，⇒x
n+1=t（x
n-1）
2+1
從而log
t（x
n+1-1）=1+2log
t（x
n-1）⇒log
t（x
n+1-1）+1=2[log
t（x
n-1）+1]
∴{log
t（x
n-1）+1}是一個公比為2的等比數(shù)列
（III）由（II）知：log
t（x
n-1）+1=（log
t2+1）2
n-1
∴
，從而
∴a
n+1＜a
n，∴
∴
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知曲線C：f（x）=3x
2-1，C上的兩點A，A
n的橫坐標(biāo)分別為2與a
n（n=1，2，3，…），a
1=4，數(shù)列{x
n}滿足
xn+1=[f(xn-1)+1]+1(t＞0且t≠，t≠1)、設(shè)區(qū)間D
n=[1，a
n]（a
n＞1），當(dāng)x∈D
n時，曲線C上存在點p
n（x
n，f（x
n）），使得點p
n處的切線與AA
n平行，
（I）建立x
n與a
n的關(guān)系式；
（II）證明：
{logt(xn-1)+1}是等比數(shù)列；
（III）當(dāng)D
n+1?D
n對一切n∈N
+恒成立時，求t的范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知曲線C：f（x）=x
3+1，則與直線
y=-x-4垂直的曲線C的切線方程為（ ）
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知曲線C：f（x）=x+
（a＞0），直線l：y=x，在曲線C上有一個動點P，過點P分別作直線l和y軸的垂線，垂足分別為A，B．再過點P作曲線C的切線，分別與直線l和y軸相交于點M，N，O是坐標(biāo)原點．則△OMN與△ABP的面積之比為
8
8
．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
（2009•溫州二模）已知曲線C：f（x）=x3-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）過C外一點A（1，0）引C的兩條切線，若它們的傾斜角互補，求a的值．
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科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知曲線C：f（x）=x3．
（1）利用導(dǎo)數(shù)的定義求f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）；
（2）求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點處的切線方程．
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