P1是橢圓+y2=1(a>0且a≠1)上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn),P1P2是垂直于x軸的弦,A1(-a,0),A2(a,0)是橢圓的兩個頂點(diǎn),直線A1P1與直線A2P2的交點(diǎn)為P.

(1)求點(diǎn)P的軌跡曲線C的方程;

(2)設(shè)曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B,求曲線C的離心率e的取值范圍;

(3)設(shè)曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且=-3,求a的值.

(文)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+2ax2-3a2x+a(0<a<1).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當(dāng)x∈[a,2]時,恒有f(x)≤0,試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(理)解析:(1)設(shè)P1(m,n)(mn≠0),則P2(m,-n),直線A1P1:y=(x+a);①

直線A2P2:y=(x-a);②                                                   

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),

由①②得m=,n=,                                                      

       

∵點(diǎn)P1(m,n)在橢圓+y2=1上,

∴有m2+a2n2=a2,

即()2+a2()2=a2,整理得-y2=1(y≠0),

∴直線A1P1與直線A2P2交點(diǎn)P的軌跡方程是雙曲線-y2=1(y≠0).                

(2)由C與l相交于兩個不同的點(diǎn),故知方程組有兩個不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.

又∵a>0且a≠1,

∴4a4+8a2(1-a2)>0.

∴0<a2<2且a2≠1.                                                         

雙曲線的離心率e=.

<e<或e>,即e∈()∪(,+∞).                        

(3)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),

則-3=

=x1x2+y1y2

=x1x2+(1-x1)(1-x2)

=2x1x2-(x1+x2)+1

=+1,

=-4,由a>0,得a=.                                               

(文)解:(1)∵f(x)=x3+2ax2-3a2x+a(0<a<1),

∴f′(x)=-x2+4ax-3a2=-(x-a)(x-3a).                                              

∵0<a<1,∴f′(x)>0a<x<3a,f′(x)<0x<a或x>3a.                      

∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為[a,3a];遞減區(qū)間為(-∞,a],[3a,+∞).                   

(2)∵x∈[a,2],

①當(dāng)2≤3a,即≤a<1時,f(x)在區(qū)間[a,2]內(nèi)是增函數(shù).

∴f(x)max=f(2)=a-6a2.

又當(dāng)x∈[a,2]時,恒有f(x)≤0,

.                                       

②當(dāng)2>3a即0<a<時,則f(x)在[a,3a]上單調(diào)遞增;在[3a,2]上單調(diào)遞減,

∴f(x)max=f(3a)=a.

又當(dāng)x∈[a,2]時,恒有f(x)≤0,

(無解).

綜上所述,a的取值范圍是≤a<1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C1的方程是
x2
4
+y2=1
,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn),C2的左、右頂點(diǎn)分別為C1的左、右焦點(diǎn).
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點(diǎn)A,B,且
OA
OB
>2
(O為原點(diǎn)),求k的取值范圍;
(3)設(shè)P1,P2分別是C2的兩條漸近線上的點(diǎn),點(diǎn)M在C2上,且
OM
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)
,求△P1OP2的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C1的方程是
x2
4
+y2=1
,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn),C2的左、右頂點(diǎn)分別為C1的左、右焦點(diǎn).
(1)求雙曲線C2的方程;
(2)若直線l:y=kx+
2
與雙曲線C2恒有兩個不同的交點(diǎn)A,B,且
OA
OB
>2
(O為原點(diǎn)),求k的取值范圍;
(3)設(shè)P1,P2分別是C2的兩條漸近線上的點(diǎn),點(diǎn)M在C2上,且
OM
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)
,求△P1OP2的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

P1是橢圓+y2=1(a>0且a≠1)上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn),P1P2是垂直于x軸的弦,A1(-a,0)、A2(a,0)是橢圓的兩個頂點(diǎn),直線A1P1與直線A2P2的交點(diǎn)為P.

(1)求點(diǎn)P的軌跡曲線C的方程;

(2)設(shè)曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B,求曲線C的離心率e的取值范圍;

(3)設(shè)曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且=-3,求a的值.

(文)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+2ax2-3a2x+a(0<a<1).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當(dāng)x∈[a,2]時,恒有f(x)≤0,試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=,x>0.

(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性,證明你的結(jié)論;

(2)若當(dāng)x>0時,f(x)>恒成立,求正整數(shù)k的最大值.(參考數(shù)據(jù):ln2≈0.7,ln3≈1.1)

(文) P1是橢圓+y2=1(a>0且a≠1)上不與頂點(diǎn)重合的任一點(diǎn),P1P2是垂直于x軸的弦,A1(-a,0),A2(a,0)是橢圓的兩個端點(diǎn),直線A1P1與直線A2P2交點(diǎn)為P.

(1)求P點(diǎn)的軌跡曲線C的方程;

(2)設(shè)曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B,求曲線C的離心率e的取值范圍;

(3)設(shè)曲線C與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且=-3,求a的值.

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