Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a₂=4，a₁a₄=32，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若集合M={n|$\frac{_{n}_{n+1}}{{a}_{n}}$≥λ，n∈N^*}中元素的個(gè)數(shù)為4，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）確定數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；n=1時(shí)，b₁，當(dāng)n≥2時(shí)由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，a₁b₁+a₂b₂+a_n-1b_n-1=（n-1-1）•2ⁿ+2，兩式相減可求；
（2）可對(duì)n=1，2，3，4，5進(jìn)行分析求出λ的取值范圍，研究當(dāng)n≥6時(shí)，不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，從而求出λ的取值范圍，根據(jù)集合M中的元素個(gè)數(shù)為4，確定λ的取值范圍．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a₂=4，a₁a₄=32，
∴a₁q=4，a₁a₁q³=32
∴a₁=2，q=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
當(dāng)n=1時(shí)，a₁b₁=（1-1）•2¹+2得b₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)由a₁b₁+a₂b₂++a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2①
得a₁b₁+a₂b₂+a_n-1b_n-1=（n-1-1）•2ⁿ+2②
①-②得a_nb_n=n•2ⁿ即b_n=n，
當(dāng)n=1時(shí)也滿(mǎn)足條件，∴b_n=n；
（2）$\frac{_{n}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，
n=1，λ≤1；n=2，λ≤$\frac{3}{2}$；n=3，λ≤$\frac{3}{2}$；n=4，λ≤$\frac{5}{4}$；n=5，λ≤$\frac{15}{16}$
若n≥6時(shí)，λ≤$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$恒成立，
令f（n）=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，則當(dāng)x≥6時(shí)，f（n）≥$\frac{21}{32}$，
∴λ≤$\frac{21}{32}$．
∵集合M中的元素個(gè)數(shù)為4，
∴$\frac{15}{16}$＜λ≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題目主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題中要注意對(duì)n=1的檢驗(yàn)不要漏掉，還要注意等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用．