Question

已知函數（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為，且圖象上一個點為．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知m∈R，p：關于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對恒成立；q：函數y=（m²-1）^x是增函數．若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：：（1）∵f（x）=Asin（ωx+）的圖象與x軸相鄰兩個交點之間的距離為，∴最小正周期T=π=．
又∵ω＞0，∴ω=2．
又∵圖象上一個點為M（，-2）．∴-2=Asin（+），解得A=2，
∴f（x）=2sin（2x+）．
（2）∵“p或q”為真，“p且q”為假，故p與q一個為真，另一個為假．
由p：關于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對恒成立，可得 f_min（x）≥m²+2m-2對恒成立．
由 ≤2x+≤ 可得當2x+=時，f_min（x）=2×=1，∴1≥m²+2m-2，解得-3≤m≤1．
由q：函數y=（m²-1）^x是增函數，可得 m²-1＞1，解得 m＞，或 m＜-．
若p真q假，則得-≤m≤1； 若p假q真，則得 m＞，或 m＜-3．
綜上可得，實數m的取值范圍為（-∞，-3）∪[-，1]∪（，+∞）．
分析：（1）根據已知可求出函數的周期，進而求出ω值，代入點M（，-2）可得A值，進而求出f（x）的解析式．
（2）由題意可得，p與q一個為真，另一個為假．分別由p真求得實數m的取值范圍、由q真求得實數m的取值范圍．從而求得p真q假時實數m的取值范圍，以及p假q真時，實數m的取值范圍，再把這兩個范圍取并集，即得所求．
點評：識點是正弦型函數解析式是求法，正弦型函數的圖象和性質，由函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象求解析式，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．