Question

19．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，BD=DC，AF=C₁F．
（1）求證：平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）求證：DF∥平面A₁ABB₁．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形底邊中線的性質(zhì)可得AD⊥BC，再由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質(zhì)得到AD⊥CC₁，然后利用線面垂直的判斷得到AD⊥平面BCC₁B₁，再由面面垂直的判斷得答案；
（2）連結(jié)CA₁，∵AF=C₁F，可得A₁F=CF，且A₁，F(xiàn)，C共線，進一步得到DF∥BA₁，再由線面平行的判定得答案．

解答 證明：（1）由AB=AC，BD=DC，可得AD⊥BC，
又直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，∴AD⊥CC₁，
∵CC₁∩BC=C，∴AD⊥平面BCC₁B₁，
而AD?平面ADC₁，
∴平面平面ADC₁⊥平面BCC₁B₁；
（2）連結(jié)CA₁，∵AF=C₁F，
∴F∈CA₁，且A₁F=CF，
連接BA₁，又BD=DC，
∴DF∥BA₁，
∵DF?平面A₁ABB₁，BA₁?平面A₁ABB₁．
∴有DF∥平面A₁ABB₁．

點評 本題考查平面與平面垂直的判斷，考查了直線與平面平行的判斷，考查學(xué)生的空間想象能力和思維能力，關(guān)鍵是熟記有關(guān)定理的內(nèi)容，是中檔題．