Question

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，2），且拋物線y²=x的焦點(diǎn)為F₁，
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí)，求直線l的方程和圓P的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓E的方程為，
則，①
∵拋物線的焦點(diǎn)為F₁，
∴，  ②
又a²=b²+c²， ③
由①、②、③得a²=12，b²=6，
所以橢圓E的方程為。
（Ⅱ）依題意，直線OC斜率為1，由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m，
代入橢圓E方程，得3x²-4mx+2m²-12=0，
由△=16m²-12（2m²-12）=8（18-m²），得m²＜18，
記A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=，x₁x₂=，
圓P的圓心為，
半徑，
當(dāng)圓P與y軸相切時(shí)，，
即，m²=9＜18，m=±3，
當(dāng)m=3時(shí)，直線l方程為y=-x+3，
此時(shí)，x₁+x₂=4，圓心為（2，1），半徑為2，
圓P的方程為（x-2）²+（y-1）²=4；
同理，當(dāng)m=-3時(shí)，直線l方程為y=-x-3，
圓P的方程為（x+2）²+（y+1）²=4。