Question

11．已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，b_n=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$（n∈N₊）．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）若數(shù)列{a_n}的公差為8，b₁=16，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡b_n+1-b_n，由等差數(shù)列的定義可證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）由題意和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a₁，由等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 證明：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，
∵b_n=${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$（n∈N₊），
∴b_n+1-b_n=${a}_{n+2}^{2}$-${a}_{n+1}^{2}$-（${a}_{n+1}^{2}$-${a}_{n}^{2}$）
=（a_n+2-a_n+1）（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）
=d[（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）]=2d²（常數(shù)），
∴數(shù)列{b_n}是以2d²等差數(shù)列；
解：（2）∵數(shù)列{a_n}的公差為8，b₁=16，
∴b₁=${a}_{2}^{2}$-${a}_{1}^{2}$=16，則8（a₂+a₁）=16，
解得a₁=-3，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$
=-3n+4n（n-1）=4n²-7n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及等差數(shù)列的證明，屬于中檔題．