Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=x-

1

x

．
（1）求Φ（x）=g（x）+kf（x）（k＜0）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)所有的x∈[e，+∞），都有xf（x）≥ax+a成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）函數(shù)φ（x）=x-

1

x

+klnx的定義域?yàn)椋?，+∞）．
φ′（x）=1+

1

x2

+

k

x

=

x2+kx+1

x2

，
記函數(shù)h（x）=x²+kx+1，其判別式△=k²-4．
①當(dāng)△=k²-4≤0，（k＜0），即-2≤k＜0時(shí)，g（x）≥0恒成立，
∴φ′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，φ（x）在區(qū)間（0，+∞）上遞增．
②當(dāng)△=k²-4＞0，（k＜0）即k＜-2時(shí)，
方程h（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x₁=

-k- k2-4

2

＞0，x₂=

-k+ k2-4

2

＞0．
若x₁＜x＜x₂，則h（x）＜0，∴φ′（x）＜0，
∴φ（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上遞減；
若x＞x₂或0＜x＜x₁，則g（x）＞0，∴φ′（x）＞0，
∴φ（x）在區(qū)間（0，x₁）和（x₂，+∞）上遞增．
綜上可知：當(dāng)-2≤k＜0時(shí)，φ（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)k＜-2時(shí)，φ（x）的遞增區(qū)間為（0，

-k- k2-4

2

）和（

-k+ k2-4

2

，+∞），
遞減區(qū)間為（

-k- k2-4

2

，

-k+ k2-4

2

）．
（2）∵x≥e，∴xlnx≥ax+a?a≤

xlnx

x+1

，
令t（x）=

xlnx

x-1

，x∈[e，+∞），則h′（x）=

x+lnx+1

(x+1)2

，
∵當(dāng)x≥e時(shí)，（x+lnx+1）′=1+

1

x

＞0，
∴函數(shù)y=x+lnx+1在[e，+∞）上是增函數(shù)，
∴x+lnx+1≥e+lne+1=e+2＞0，h′（x）＞0，
∴t（x）的最小值為h（e）=

e

e+1

，
∴a≤

e

e+1

．