Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=1﹣ 為定義在R上的奇函數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義加以證明；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，

故1﹣ =0，解得：a=1，

故f（x）=1﹣ ，

x→+∞時，f（x）→1，

x→﹣∞時，f（x）→﹣1，

f（x）在R遞增，

證明如下：

設(shè)x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）

=1﹣ ﹣1+

= ，

∵x1＜x2，∴ ＜ ，

∴f（x1）＜f（x2），

故f（x）在R遞增

（2）解：由（1）f（x）在[﹣1，1]遞增，

而f（﹣1）= ，f（1）= ，

故x∈[﹣1，1]時，f（x）∈[ ， ]，

若關(guān)于x的方程f（x）=m在[﹣1，1]上有解，

則m∈[ ， ]

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到f（0）=0，求出a的值，根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在x∈[﹣1，1]的值域，從而求出m的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．