Question

（2013•廣州三模）如圖，已知直線l：y=4x及曲線C：y=x²，C上的點(diǎn)Q₁的橫坐標(biāo)為a₁（0＜a₁＜4）．從曲線C上的點(diǎn)Q_n（n≥1）作直線平行于x軸，交直線l于點(diǎn)P_n+1，再從點(diǎn)P_n+1作直線平行于y軸，交曲線C于點(diǎn)Q_n+1．Q_n（n=1，2，3，…）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{a_n}．
（1）試求a_n+1與a_n的關(guān)系； 
（2）若曲線C的平行于直線l的切線的切點(diǎn)恰好介于點(diǎn)Q₁，Q₂之間（不與Q₁，Q₂重合），求a₃的取值范圍；
（3）若a₁=3，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得Q_n的坐標(biāo)為（a_n，an2），Q_n+1的坐標(biāo)為（a_n+1，an+12），于是點(diǎn)P_n+1的坐標(biāo)為（a_n+1，4a_n+1），從而有4a_n+1=an2；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（t，t²），則y′=4，可求得t=2．解不等式

a2＜2 a1＞2

可求得2＜a₁＜2

2

，a₃=

1

64

a

4 1

，繼而可求得a₃的取值范圍；
（3）由a_n+1=

1

4

an2可求得lga_n+1=2lga_n+lg

1

4

，繼而可知數(shù)列{lga_n+lg

1

4

}是以2為公比，首項為lg

3

4

的等比數(shù)列，于是可求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）因為點(diǎn)Q_n的坐標(biāo)為（a_n，an2），Q_n+1的坐標(biāo)為（a_n+1，an+12），
所以點(diǎn)P_n+1的坐標(biāo)為（a_n+1，4a_n+1），
則4a_n+1=an2，故a_n+1與a_n的關(guān)系為a_n+1=

1

4

an2．
（2）設(shè)切點(diǎn)為（t，t²），則y′=2x得2t=4，所以t=2．
解不等式

a2＜2 a1＞2

得2＜a₁＜2

2

，a₃=

1

4

a22=

1

4

(

1

4

a

2 1

)2=

1

64

a

4 1

．
∵2＜a₁＜2

2

，
∴

1

4

＜a₃＜1．即a₃的取值范圍是（

1

4

，1）．
（3）由a_n+1=

1

4

an2得lga_n+1=lg（

1

4

an2），
即lga_n+1=2lga_n+lg

1

4

，
故lga_n+1+lg

1

4

=2（lga_n+lg

1

4

），lga₁+lg

1

4

=lg3+lg

1

4

=lg

3

4

≠0，
所以數(shù)列{lga_n+lg

1

4

}是以2為公比，首項為lg

3

4

的等比數(shù)列，
lga_n+lg

1

4

=2^n-1lg

3

4

=lg(

3

4

)2n-1，即lg

a   n

4

=lg(

3

4

)2n-1，
解得a_n=4•(

3

4

)2n-1，
數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=4•(

3

4

)2n-1．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的函數(shù)特性，突出考查等比數(shù)列的通項公式，考查等價轉(zhuǎn)化思想于邏輯思維能力與運(yùn)算能力，屬于難題．