Question

3．已知兩條直線l₁：y=a和${l_2}：y=\frac{18}{2a+1}$（其中a＞0），l₁與函數(shù)y=|log₄x|的圖象從左到右相交于點(diǎn)A、B，l₂與函數(shù)y=|log₄x|的圖象從左到右相交于點(diǎn)C、D，記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為m、n，當(dāng)a=$\frac{5}{2}$時(shí)，$\frac{n}{m}$取得最小值．

Answer 1

分析 用a表示出A，B，C，D四點(diǎn)的橫坐標(biāo)，計(jì)算$\frac{n}{m}$的值，再利用基本不等式求解．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），
則x${\;}_{A}={4}^{-a}$，${x}_{B}={4}^{a}$，${x}_{C}=4-\frac{18}{2a+1}$，${x}_{D}=4•\frac{18}{2a+1}$，
則$\frac{n}{m}=\frac{{4}^{a}-4•\frac{18}{2a+1}}{{4}^{-a}-{4}^{-\frac{18}{2a+1}}}$=${4}^{a+\frac{18}{2a+1}}$，
令f（a）=log${\;}_{4}\frac{n}{m}$=a+$\frac{18}{2a+1}$=a+$\frac{1}{2}$+$\frac{9}{a+\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$，
∵$a+\frac{1}{2}＞\frac{1}{2}$，
∴$f（a）≥2\sqrt{9}-\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{a+\frac{1}{2}}$，即a=$\frac{5}{2}$時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)a=$\frac{5}{2}$時(shí)，f（a）有最小值，$\frac{n}{m}$也有最小值．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，對(duì)數(shù)運(yùn)算，基本不等式，屬于基礎(chǔ)題