已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào),求a的取值范圍.
(Ⅱ)令g(x)=
19
6
x-
1
3
,是否存在實數(shù)a,對任意x1∈[-1,1],存在x2∈[0,2],使得f′(x1)+2ax1=g(x2)成立?若存在,求a的值;若不存在,請說明理由.
(Ⅰ)求導函數(shù)可得f'(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)],
函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)不單調(diào),等價于導函數(shù)f′(x)在(-1,1)既能取到大于0的實數(shù),又能取到小于0的實數(shù),即函數(shù)f′(x)在(-1,1)上存在零點,但無重根.
令f'(x)=0得x=a與x=-
a+2
3
,則-1<a<1或-1<-
a+2
3
<1,且a≠-
a+2
3
,∴-5<a<1且a≠-
1
2

綜上-5<a<-
1
2
-
1
2
<a<1;
(Ⅱ)由題意,函數(shù)f′(x)+2ax值域是g(x)的值域的子集
∵x∈[0,2],g(x)=
19
6
x-
1
3
,∴g(x)∈[-
1
3
,6];
令F(x)=f′(x)+2ax=3x2+2(1-a)x-a(a+2)+2ax=3x2+2x-a2-2a
∵x∈[-1,1],∴F(x)∈[-
1
3
-a2-2a,5-a2-2a]
∴-
1
3
-a2-2a≥-
1
3
且5-a2-2a≤6
∴-2≤a≤0
∴a∈[-2,0]
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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