Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）求2sin²A+cos（A-C）的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知acosC+ccosA=2bcosB，利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，化簡整理得sinB=2sinBcosB，求得cosB，進(jìn)而求得B．
（Ⅱ）先利用二倍角公式對(duì)原式進(jìn)行化簡整理，進(jìn)而根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性求得2sin²A+cos（A-C）的范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，
∴acosC+ccosA=2bcosB，
由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，
即：sin（A+C）=sinB，
∴sinB=2sinBcosB，
又在△ABC中，sinB≠0，
∴，
∵0＜B＜π，
∴；
（Ⅱ）∵，
∴
∴
=
=，
∵，
∴
∴2sin²A+cos（A-C）的范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵就是利用了正弦定理把邊的問題轉(zhuǎn)化成了角的問題，利用三角函數(shù)的特殊性質(zhì)求得答案．