Question

12．如圖，在△ABC中，D為BC中點，記$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{3}$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{AC}$．
（2）求|$\overrightarrow{AC}$|

Answer 1

分析 （1）利用三角形法則，表示$\overrightarrow{AC}$；
（2）利用（1）的結論，先求其平方值，展開轉化為向量模壓機數量積的計算．

解答 解：（1）由已知得到$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+2（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$=$\overrightarrow{a}+2（\overrightarrow-\overrightarrow{a}）$=-$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$；
（2）由（1）得到|$\overrightarrow{AC}$|²=（-$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$=4-4×2×1×cos$\frac{π}{3}$+4=4-4+4=4，所以|$\overrightarrow{AC}$|=2．

點評 本題考查了平面向量的三角形法則以及數量積公式的運用；正確表示$\overrightarrow{AC}$/熟練運用數量積公式是關鍵．