Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sin²x+sinx•cosx+cos²x，x∈R． 求：
（1）f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）函數(shù)f（x）的最小值及相應(yīng)x值；
（3）函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 利用倍角公式降冪，然后利用輔助角公式化簡．
（1）直接把x=$\frac{π}{12}$代入求得f（$\frac{π}{12}$）的值；
（2）由相位的終邊落在y軸負(fù)半軸上求得函數(shù)f（x）的最小值及相應(yīng)x值；
（3）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．

解答 解：f（x）=2sin²x+sinx•cosx+cos²x
=1+sin²x+sinx•cosx=1+$\frac{1-cos2x}{2}$$+\frac{1}{2}sin2x$
=$\frac{1}{2}（sin2x-cos2x）$$+\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{3}{2}$．
（1）f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2×\frac{π}{6}-\frac{π}{4}）+\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}（sin\frac{π}{3}cos\frac{π}{4}-cos\frac{π}{3}sin\frac{π}{4}）+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$+\frac{5}{4}$；
（2）f（x）的最小值為$\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，此時$2x-\frac{π}{4}=2kπ-\frac{π}{2}$，即$x=kπ-\frac{π}{8}，k∈Z$；
（3）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得：$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+kπ，k∈Z$．
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[$-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ$]，k∈Z．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬中檔題．