Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}，x≤a\\ 2x+3，x＞a\end{array}$，若方程f（x）+2x-8=0恰有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $[-4，\frac{5}{4}]∪[2，+∞）$
• B． [-4，2]
• C． $（\frac{5}{4}，2]$
• D． $[{-4，\frac{5}{4}}]$

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=-2x+8共有兩個(gè)交點(diǎn)，可能為：兩個(gè)交點(diǎn)均為y=-2x+8與二次函數(shù)y=x²的交點(diǎn)，也可能為：兩個(gè)交點(diǎn)為y=-2x+8與y=2x+3的交點(diǎn)，另一個(gè)是y=-2x+8與二次函數(shù)y=x²的交點(diǎn)，進(jìn)而得到答案．

解答 解：y=x²與y=-2x+8共有兩個(gè)交點(diǎn)（-4，16），（2，4），
y=2x+3與y=-2x+8有一個(gè)交點(diǎn)（$\frac{5}{4}$，$\frac{11}{2}$），
若方程f（x）+2x-8=0恰有兩個(gè)不同實(shí)根，
則函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=-2x+8共有兩個(gè)交點(diǎn)，
若兩個(gè)交點(diǎn)均為y=-2x+8與二次函數(shù)y=x²的交點(diǎn)，則a≥2，
若兩個(gè)交點(diǎn)為y=-2x+8與y=2x+3的交點(diǎn)，另一個(gè)是y=-2x+8與二次函數(shù)y=x²的交點(diǎn)，則-4≤a≤$\frac{5}{4}$，
綜相所述，a∈$[-4，\frac{5}{4}]∪[2，+∞）$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，分段函數(shù)的應(yīng)用，難度中檔．