Question

已知命題p：k²-8k-20≤0，命題q：方程

x2

4-k

+

y2

1-k

=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．
（Ⅰ）命題q為真命題，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）若命題“p∨q”為真，命題“p∧q”為假，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,復(fù)合命題的真假

專題：計(jì)算題,簡易邏輯

分析：（Ⅰ）命題q為真命題，由已知得

4-k＞0 1-k＜0

，可求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)題意得命題p、q有且僅有一個(gè)為真命題，分別討論“p真q假”與“p假q真”即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)命題q為真時(shí)，由已知得

4-k＞0 1-k＜0

，解得1＜k＜4
∴當(dāng)命題q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是1＜k＜4…（5分）
（Ⅱ）當(dāng)命題p為真時(shí)，由k²-8k-20≤0解得-2≤k≤10…（7分）
由題意得命題p、q中有一真命題、有一假命題        …（8分）
當(dāng)命題p為真、命題q為假時(shí)，則

-2≤k≤10 k≤1或k≥4

，
解得-2≤k≤1或4≤k≤10．…（10分）
當(dāng)命題p為假、命題q為真時(shí)，則

k＜-2或k＞10 1＜k＜4

，k無解．…（12分）
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是-2≤k≤1或4≤k≤10．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題，解題時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用．