Question

已知拋物線x²=2y的焦點(diǎn)為F，直線l：x-2y+2=0交拋物線于A，B兩點(diǎn)，則cos∠AFB的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立拋物線與直線方程，解出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出AB的長(zhǎng)度，由拋物線定義求出AF和BF的長(zhǎng)度，然后直接利用余弦定理求解．

解答： 解：聯(lián)立拋物線x²=2y與直線l：x-2y+2=0，消去y得x²-x-2=0，解得x₁=-1，x₂=2．
當(dāng)x₁=-1時(shí)，y₁=

1

2

；當(dāng)x₂=2時(shí)，y₂=2．
不妨設(shè)A在y軸左側(cè)，于是A，B的坐標(biāo)分別為（-1，

1

2

），（2，2），
由x²=2y，得2p=2，所以p=

1

2

，則拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-

1

2

．
由拋物線的定義可得：|AF|=

1

2

-（-

1

2

）=1，|BF|=2-（-

1

2

）=

5

2

，
|AB|=

9+ 9 4

=

3

2

5

，
在三角形AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB=

1+ 25 4 - 45 4

2•1• 5 2

=-

4

5

．
故答案為：-

4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了利用拋物線定義求拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，練習(xí)了三角形中的余弦定理，是中檔題．