Question

病人按規(guī)定的劑量服用某藥物，測得服藥后，每毫升血液中含藥量y=Ma^x（毫克）與時間y=Ma^x（小時）滿足：前1小時內成正比例遞增，1小時后按指數(shù)型函數(shù)y=Ma^x（M，a為常數(shù)）衰減．如圖是病人按規(guī)定的劑量服用該藥物后，每毫升血液中藥物含量隨時間變化的曲線．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）已知每毫升血液中含藥量不低于0.5毫克時有治療效果，低于0.5毫克時無治療效果．求病人一次服藥后的有效治療時間為多少小時？

Answer 1

分析：（1）當0≤x≤1時，設y=kx，又過（1，4）點，知y=4x；當x＞1時，y=Ma^x，又過（1，4）、（2，2）點，知y=8(

1

2

)x=23-x．由此能求出函數(shù)y=f（x）的解析式．
（2）當f（x）≥

1

2

時，為有效治療，當0≤x≤1時，由4x≥

1

2

，解得

1

8

≤x≤1；當x＞1時，2^3-x≥

1

2

，解得1＜x≤4.4-

1

8

=

31

8

．由此能求出病人一次服藥后的有效治療時間．

解答：解：（1）當0≤x≤1時，y與x成正比例，設為y=kx，
又過（1，4）點，∴k=4，
∴y=4x，…（2分）
當x＞1時，y=Ma^x，又過（1，4）、（2，2）點，
∴

Ma1=4 Ma2=2

，解得

M=8 a= 1 2

，
∴y=8(

1

2

)x=23-x．…（6分）
∴y=f（x）=

4x，0≤x≤1 23-x，x＞1

．…（8分）
（2）當f（x）≥

1

2

時，為有效治療，
當0≤x≤1時，由4x≥

1

2

，解得

1

8

≤x≤1；
當x＞1時，2^3-x≥

1

2

，解得1＜x≤4．
4-

1

8

=

31

8

．
∴當

1

8

≤x≤4時，有治療效果．
所以有效治療時間為

31

8

小時．…（14分）

點評：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)生活中的實數(shù)據(jù)應用，解題時要認真審題，注意分析題設中的數(shù)量關系，合理地進行等價轉化．