如圖，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD.

(1)若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°,求這個四棱錐的體積；

(2)證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°.

（1）解:∵PB⊥面ABCD，∴BA是PA在面ABCD上的射影.

    又DA⊥AB，∴PA⊥DA.

∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，∴∠PAB=60°.

    而PB是四棱錐P—ABCD的高，PB=AB·tan60°=a，

∴V錐=·a·a2=a3.

（2）證明:不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形，作AE⊥DP，垂足為E，連結(jié)EC，則△ADE≌△CDE，

∴AE=CE,∠CED=90°,故∠CEA是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.

    設(shè)AC與DB相交于點O，連結(jié)EO，則EO⊥AC，a=OA＜AE＜AD=a.在△AEC中，

cos∠AEC=＜0.

∴面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設(shè)PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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