Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx，f（x+1）為偶函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知k的取值范圍為[，+∞），則是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請(qǐng)求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x+1）為偶函數(shù)，
∴f（﹣x+1）=f（x+1），
即a（﹣x+1）²+b（﹣x+1）=a（x+1）²+b（x+1）恒成立，
即（2a+b）x=0恒成立，
∴2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∴f（x）=ax²﹣2ax，
∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，
∴二次方程ax²﹣（2a+1）x=0有兩相等實(shí)數(shù)根，
∴△=（2a+1）²﹣4a×0=0，
∴a=，
即有f（x）=﹣x²+x
（2）∵f（x）=﹣（x﹣1）²+≤，
∴[km，kn]（﹣∞，]，
∴kn≤，又k≥，
∴n≤≤，
又[m，n]（﹣∞，1]，f（x）在[m，n]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴即
即m，n為方程﹣x2+x=kx的兩根，
解得=0，x₂=2﹣2k．
∵m＜n且k≥．
故當(dāng)≤k＜1時(shí)，[m，n]=[0，2﹣2k]；
當(dāng)k＞1時(shí)，[m，n]=[2﹣2k，0]；
  當(dāng)k=1時(shí)，[m，n]不存在